Beranda > Asah Otak, Ada yang Bisa? > Aplikasi Deret Teleskopis….

Aplikasi Deret Teleskopis….

Halo bertemu lagi dengan saya, pertemuan kali ini kita akan belajar bagaimana menerapkan logika ke dalam soal-soal matematika. Langsung saja kita gunakan soal di bawah ini, coba teman-teman cari hasil perkaliannya:

\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2010^{2}} \right )

Ada yang bisa, sebelum klik tombol di bawah🙂🙂

Sebelumnya soal di atas termasuk ke dalam kategori barisan dan deret matematika, lebih tepatnya deret teleskopis.  Apa itu deret teleskopis, simak baik-baik penjelasan berikut ini

Manfaatkan saja sifat perkalian yang pernah kita pelajari,

\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )= \frac{3}{4} , hmm… ternyata mudah. Coba lagi ahhh,

\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )= \frac{8}{9} , ok lah…

\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right )= \frac{15}{16} , simpel…

\left ( 1-\frac{1}{5^{2}} \right )= \frac{24}{25} , gampang amat…

\left ( 1-\frac{1}{6^{2}} \right )= \frac{35}{36} , males gw…

lanjut yang lebih tinggi yaa,,

\left ( 1-\frac{1}{1000^{2}} \right )= \frac{999999}{1000000} , mudahnya, kan cuman nambahin nol 6 kali ama kurangin atu doang🙂

Ok, lanjut

\left ( 1-\frac{1}{1001^{2}} \right )= \frac{????}{????} , mampus gw….

Itu baru nilai pecahannya, belum disuruh ngitung hasil perkaliannya…

\left (\frac{3}{4}  \right )\left (\frac{8}{9}  \right )\left (\frac{15}{16}  \right )\left (\frac{24}{25}  \right )\left (\frac{35}{36}  \right )...\left (\frac{???}{???}  \right )=????

Bisa-bisa ke bawa mimpi nih ngitungnya…. wkwkwk🙂

Umumnya pemikiran awam akan mengerjakan cara-cara di atas, sebenarnya bisa dicarikan cara yang lebih manusiawi lagi tanpa harus mengorbankan tenaga dan waktu,

Masih ingat dengan bentuk, a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) , nah itu udah bisa,,, pakai persamaan itu aja,,

Jadi klo dibongkar, soal jadi:

=\left ( 1-\frac{1}{2^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{3^{2}} \right )\left ( 1-\frac{1}{4^{2}} \right )...\left ( 1-\frac{1}{2010^{2}} \right )

=\left (1-\frac{1}{2}  \right )\left (1+\frac{1}{2}  \right )\left (1-\frac{1}{3}  \right )\left (1+\frac{1}{3}  \right )\left (1-\frac{1}{4}  \right )\left (1+\frac{1}{4}  \right )...\left (1-\frac{1}{2010}  \right )\left (1+\frac{1}{2010}  \right )

Boleh klo saya kumpulin bentuknya jadi kayak gini:

=\left (1-\frac{1}{2}  \right )\left (1-\frac{1}{3}  \right  )\left (1-\frac{1}{4}  \right )...\left (1-\frac{1}{2010}  \right )...\left  (1+\frac{1}{2}  \right )\left (1+\frac{1}{3}  \right )\left  (1-\frac{1}{4}  \right )...\left (1+\frac{1}{2010}  \right )

Jadi yang negatif gabung ama yang negatif, posistif gabung ama yang positif

Coba perhatikan bentuk yang negatif

=\left (1-\frac{1}{2}  \right )\left (1-\frac{1}{3}  \right )\left  (1-\frac{1}{4}  \right )...\left  (1-\frac{1}{2010}  \right )

=\frac{1}{2}\frac{2}{3}\frac{3}{4}...\frac{2008}{2010}

Ternyata bentuk pecahan yang terakhir, bagian pembilang dan penyebutnya bisa saling menghilangkan secara beruntun maka hasil akhirnya:

=\frac{1}{2010}

Sekarang coba yang positifnya,

=\left (1+\frac{1}{2}  \right )\left (1+\frac{1}{3}  \right  )\left  (1+\frac{1}{4}  \right )...\left  (1+\frac{1}{2010}  \right )

=\frac{3}{2}\frac{4}{3}\frac{5}{4}...\frac{2011}{2010}

Lagi-lagi pembilang dan penyebut saling menghilangkan secara beruntun, hasilnya:

\frac{2011}{2}

Nah, untuk hasilnya cumup dikalikan saja hasil positif dengan negatif, didapat:

=\frac{1}{2010}\frac{2011}{2}=

atau

=\frac{2011}{4020}

Mudah bukan?🙂

Klo temen2 perhatikan akan ada dua bagian dimana pembilang dan penyebut itu saling menghilangkan di atas sana.  Nah, proses penghilangan secara beruntun itulah yang dimaksud sebagai deret teleskopis.

Setelah membaca penjelasan di atas dan mengerti (atau malah tambah bingung🙂 )sekarang coba soal berikut, bagaimana menyelesaikannya melalui metode di atas

\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}...\frac{1}{2010.2011}

Ditunggu di kotak komentar ya…

  1. rani
    September 19, 2012 pukul 7:21 pm

    menurut saya jawabannya 2010/2011
    karena 1/1.2=1/2
    1/1.2+1/2.3=1/2+1/6=3/6+1/6=4/6=2/3
    1/1.2+1/2.3+1/3.4=1/2+1/6+1/12=6/12+2/12+1/12=9/12=3/4 dst
    dengan begitu kita dapatkan suatu pola dimana
    S1=1/2, S2=2/3, S3=3/4 , dst
    sehingga 1/1.2+1/2.3+…+1/2010.2011=2010/2011

    • Anonim
      Desember 16, 2012 pukul 7:16 pm

      Bukannya 2009/2010 ya, kan nilai (S) nya minus 1. Dari 1 ke 2010 kan 2010. Lalu di minus 1. Sama dengan 2009, itu bagian atasnya. Bawahnya kan lewat pola sama dengan atas plus 1. Sama dengan 2009 plus 1. Sama dengan 2010. Ditulis 2009/2010

  2. irvan cutes
    Maret 4, 2014 pukul 9:31 am

    1-1/2=1/2
    1/2-1/3=1/6
    1/3-1/4=1/12
    maka
    1/2010.2011= 1/2010-1/2011

  3. Anonim
    Mei 24, 2014 pukul 10:19 pm

    bagaimna ya menentukan pola dari deret teleskopis ini??

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s