Beranda > Asah Otak, Ada yang Bisa? > Perhitungan Guidobaldo del Monte yang Salah

Perhitungan Guidobaldo del Monte yang Salah

Apa yang salah dengan perhitungan di bawah ini?

0      = 0 + 0 + 0 + 0 + ….

= (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + ….

= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

=1 + (– 1 + 1) + (– 1 + 1) +(– 1 + 1) + (– 1 + 1) +….

= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + …= 1

(Itulah sebabnya Guidobaldo del Monte berfikir bahwa hal inilah yang membuktikan keberadaan Tuhan sebab “ sesuatu telah diciptakan dari sesuatu yang nihil”.)

Coba analisis dulu sebelum melihat jawabannya

Masalah di atas sebenarnya sederhana bila mengkaitkan dengan barisan dan deret suatu suku.

O iya sebelumnya definisi dari barisan adalah urutan-urutan bilangan yang mempunyai aturan tertentu, dengan daerah asalnya adalah himpunan bilangan bulat positif.  Barisan ditulis sebagai a1, a2, a3, a4, ………….an ………..

Contoh dari barisan misalnya:

0, 2, 6, 12, 20, ……., maka rumus suku ke-n adalah Un = n(n-2),

klo gak percaya masukkin aja angka 3 (utk suku ke tiga) didapat hasilnya 6 bkn, J )

Barisan menurut sifatnya dibagi menjadi dua, yaitu barisan yang bersifat divergen dan satu lagi yang bersifat konvergen.  Barisan konvergen adalah barisan yang memiliki nilai limit untuk suku-n berapa pun juga termasuk untuk suku menuju tak hingga (~), Sedangkan klo barisan divergen adalah barisan yang tidak memiliki limit untuk suku menuju tak hingga.

Contoh untuk barisan divergen adalah: (saya kasih yg gampang dulu)

(i)                  0, 2, 6, 12, 20, ……., (kyk contoh di atas)

(ii)                2, 7, 12, 17, ….

(iii)               0, 3, 0, 3, 0, 3, ……

(iv)               1, ½, 1/3, ¼ ,………

Contoh untuk barisan konvergen:

(i)                  ½, ¼, 1/8, 1/16, ………

(ii)                4, 8/5, 16/25, 37/125, …….

(iii)               1, 1/8, 1/27, 1/64, 1/125, ………

(iv)               1, -1/2, 1/3, -1/4, 1/5, ………..

Setelah mengetahui apa itu barisan, sekarang kita deret suatu barisan.  Apa itu deret? Deret merepresentasikan jumlah dari suku-suku suatu barisan.  Sebagai contoh kita ekspresikan deret dari barisan yang ada sebagai:

a1 + a2 + a3 + a4 + ……………..+ an + ……………….

disebut sebagai deret tak hingga (atau cukup dikatakan deret saja).

Sekarang dari contoh ekspresi deret di atas kita beri angka aja biar jelas, misal

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ….. + n + ………. + n + ………..

Sekarang pertanyaannya apakah mungkin dan masuk akal kita menghitung jumlah tak hingga dari barisan contoh di atas, walaupun hanya memiliki selisih pola satu? Tentu saja mustahil, Mengapa? sebab jika menjumlahkan suku-suku tersebut akan diperoleh jumlah kumulatif 1, 3 6, 10, 15, 21, …. Sn,……., n(n + 1)/2.  Maksudnya setelah suku ke-n jumlah yang dihasilkan semakin membesar bila n yang diberikan besar pula dan bernilai tak hingga untuk suku-n menuju tak hingga pula.  Sehingga deret di atas termasuk sebagai deret divergen.

Lalu apakah ada deret yang mempunyai nilai tertentu ketika suku-n menuju tak hingga? Tentu saja ada dan deret tersebut dinamakan deret konvergen? Contoh dari deret konvergen misalnya:

1 + (-1/2) + 1/3 + (-1/4) + 1/5 + …….. + n + ………

Kalo rekan-rekan perhatikan contoh deret di atas serupa dengan contoh deret sebelumnya, hanya saja bernilai negatif untuk suku ke-n genap.  Bila mencoba menghitung dengan limit sampai suku-n tak hingga akan didapatkan jumlah kumulatif 0 (Mengenai cara2 untuk menentukan apah deret tersebut divergen atau konvergen akan disampaikan pada lain waktu).  Sehingga deret tersebut deret konvergen, karena limit untuk n menuju tak hingga adalah ada dalam hal ini bernilai 0.

Lalu kembali ke tajuk utamanya, apa yang salah dari pernyataan:

0      = 0 + 0 + 0 + 0 + ….

= (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …. (i)

= 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + … (ii)

=1 + (– 1 + 1) + (– 1 + 1) +(– 1 + 1) + (– 1 + 1) +…. (iii)

= 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + …= 1

Sekilas cara yang disajikan memang terlihat sempurna. Namun setelah dianalisis melalui deret, kita tidak bisa memberikan sembarang angka di awal langkah seperti tersaji pada bentuk (i).  Karena kita dapat juga memberikan angka berapun juga asalkan angka yang digunakan selalu sama.  Oke sekarang kita pakai angka 1 saja perhitungan lebih lanjut.  Sekarang ikuti pola berikut:

1+1 = 2

1+1+1= 3

1+1+1+1=4

1+1+1+1+1=5

1+1+1+1+1+1=6

1+1+1+1+1+1+1=7

.

.

.

1+1+1+1+1+1+1+……………+1+………n = (nà~ atau -~)

Ada yang tahu berapa hasil akhir dari pola terakhir? Tentunya  tidak dapat diketahui hasil akhirnya bukan, Mengapa? karena bila menjumlahkan bilangan 1 dan -1 secara terpisah yang kita lakukan hanyalah kesia-siaan belaka.  Secara, bilangan 1 dan -1 bila dijumlahkan akan menuju hasil tak hingga positif dan negatif (ingat dijumlah secara terpisah loh).

Lah,..kan di bentuk (iii) 1 dan -1 saling meniadakan sehingga menyisakan bilangan bernilai 1.  Memang betul 1-1 bernilai 0, namun disinilah letak kesalahan utamanya.  Kita tahu bahwa menjumlahkan bilangan 1 hingga menuju tak hingga yang merupakan deret divergen menghasilkan ketakhinggaan (~) begitu pula bila menjumlahkan bilangan -1 dihasilkan ketakhinggaan (-~) karena juga merupakan deret divergen.  Lalu apakah mungkin kita menggabungkan (~) dengan (–~)?

Sehingga bentuk (i) sampai (iii) tidak semestinya disajikan dalam bentuk demikian, karena bentuk (i) sampai (iii) merupakan bentuk untuk deret divergen, yaitu deret yang tidak memiliki limit untuk suku menuju tak hingga.

  1. Belum ada komentar.
  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s