Beranda > Asah Otak, Ada yang Bisa? > Dimensi Maksimum dalam Sebuah Lingkaran

Dimensi Maksimum dalam Sebuah Lingkaran

Misalkan diberikan lingkaran dengan jari-jari sebesar r kemudian didalam lingkaran tersebut diletakkan sebuah daerah berbentuk persegi. Dapatkan kita mencari panjang dan lebar dari daearah tersebut agar luasnya menjadi bernilai maksimum? Ilustrasinya saya gambarkan sebagai berikut:

Circle

Matematika (Kalkulus) sebenarnya bisa menjawab persoalan tersebut secara amat mudah melalui teknik yang disebut metode pengoptimuman. Sebagai catatan metode pengoptimuman ini merupakan salah satu dari penerapan diferensial. Lalu apa yang mesti kita lakukan selanjutnya? Pertama ubah masalah yang ada menjadi model matematika terdahulu selanjutnya terapkan metode pengoptimuman dengan menetapkan fungsi yang harus dimaksimumkan atau diminimumkan (dalam contoh ini adalah memaksimumkan luas).

Solusi
Gambar di atas akan lebih mudah di analisis dengan bantuan diagram Cartesius serta menggambar dalam kondisi setengah lingkaran terlebih dahulu. Seperti yang terlihat dibawah ini:

New Picture

Kita misalkan panjang OD = x
Panjang BD = y
Teman-teman tidak usah bingung dengan huruf x dan y yang disajikan dari diagram Cartesius di atas, karena penamaan OD= x dan BD = y hanyalah menunjukkan variable panjang yang ada dan pastinya terletak di sumbu-x atau –y🙂.

Ok sekarang kita lanjutkan. Sesuai dengan teorema phytagoras,
panjang BO adalah

x^{2}+y^{2}=r^{2} …(1)

bila kita ubah dengan mengeluarkan variable x didapat

x^{2}=r^{2}-y^{2} …(2)

atau dituliskan sebagai:

x=\left(r^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} …(3)

Luas daerah ABCD adalah = CD.BD = 2x.y

Masukkan variable x ke persamaan 2, sehingga diperoleh

L(y)=2\left(r^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y …(4)

Selanjutnya turunkan persamaan (4), dihasilkan

L^{'}(y)=2\left(r^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y+\left (r^{2}-y^{2} \right)^{-\frac{1}{2}}\left(2y\right)y …(5)

Hasil turunan persamaan 5 tersebut, selanjutnya dibuat menjadi nol untuk mendapatkan nilai pengoptimuman, (di sinilah inti dari metode pengoptimuman) sehingga bentuknya menjadi:

2\left(r^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y+\left (r^{2}-y^{2} \right)^{-\frac{1}{2}}\left(2y\right)y = 0 …(6)

Kita selesaikan

2\left(r^{2}-y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}y=\frac{\left(2y\right)y}{\left (r^{2}-y^{2} \right)^{\frac{1}{2}}}

2\left(r^{2}-y^{2}\right)=2y^{2}

r^{2}=2y^{2}

y=\frac{r}{2^{\frac{1}{2}}} …(7)

Didapat panjang y yang memaksimumkan luas ABCD adalah \frac{r}{2^{\frac{1}{2}}} .

Akan tetapi perlu di ingat, pada awal pembuktian kita menggunakan setengah lingkaran dengan setengah luas daerah yang akan kita cari. Untuk itu kita tinggal kalikan y dengan dua. Sehingga lebar daerah ABCD menjadi:

2BD=2AC=2y=r\sqrt{2} …(8)

Lalu bagaimana dengan panjang CD-nya?. Gampang, kita tinggal masukkan persamaan (6) ke persamaan (3) didapat nilai x, yaitu:

x=\frac{r}{2^{\frac{1}{2}}} …(9)

Tetapi perlu diingat, nilai x tersebut baru setengah ukuran panjang daerah ABCD, untuk mendapatkan panjang seluruhnya kita kalikan 2 juga, didapat:

AB=CD=2x=r\sqrt{2} …(10)

Selidik punya selidik ternyata daerah yang dimaksud mempunyai panjang r\sqrt{2} dan lebar r\sqrt{2} , yang berarti daerah tersebut berupa persegi (semua sisi sama besar). Sehingga dapat dikatakan agar daerah yang diletakkan dalam lingkaran tersebut mempunyai luas bernilai maksimum maka daerah tersebut berupa bangun datar persegi dengan panjang sisi-sisinya adalah r\sqrt{2} satuan panjang.

Merasa mudah kelihatannya…..???, sekarang penulis ada pertanyaan yang serupa nih.

Bagaimana bila daerah yang diletakkan dalam lingkaran dengan jari-jari r sekarang berupa segitiga sama kaki. Carilah Alas dan tinggi segitiga tersebut agar memiliki luas maksimum??

Silahkan dikerjakan….Bila sudah dapat bisa comment balik atau via email saya🙂

  1. uji
    Desember 4, 2013 pukul 8:21 pm

    berbelit2 kata2nya gak ngerti😦

  2. April 5, 2014 pukul 2:24 pm

    mkasih gan

  3. wld123
    Mei 4, 2014 pukul 12:10 pm

    gan, itu pas proses pengoptimuman bukanya nilai pecahan yg 2y(y)/(r^2-y^2)^1/2 itu negatif ya? mohon pencerahanya gan, cmiiw 😀

  4. Desember 4, 2014 pukul 8:42 am

    makasih infonya.,., membantu.,.,:-)

  5. Desember 6, 2014 pukul 12:32 pm

    y/lebarnya nya belum dibagi dua gan..?

  6. November 30, 2016 pukul 2:47 pm

    y yang di 2(R2-y2)y kemana ya gan ? thx?

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s