Beranda > Download, Pembahasan Materi, Trigonometri > Trigonometri Dasar

Trigonometri Dasar

Trigonometri merupakan salah satu cabang matematika yang mempelajari hubungan sudut dan sisi dalam sebuah segitiga.  Berbeda dengan Phytagoras yang lebih mengkhususkan hubungan antar sisi segitiga siku².  Pada trigonometri, persamaan yang terkandung didalamnya mampu diterapkan pada semua jenis segitiga serta tidak menutup kemungkinan kombinasi antara trigonometri dan Phytagoras mampu menghasilkan persamaan² baru. Sedang dari kacamata trigonometri itu sendiri mampu dihasilkan hubungan antara fungsi trigonometri satu dengan lainnya atau yang lebih dikenal dengan kesamaan trigonometri. Kesamaan trigonometri inilah yang memegang peranan penting dalam pembuktian sebuah postulat trigonometri maupun sekedar menyelesaikan permasalahan yang ada.

Telah disebutkan bahwa definisi trigonometri berhubungan antara sudut dan sisi sebuah segitiga.  Di bangku SMA kita mengenal fungsi dasar trigonometri seperti sin, tg, dan cos.  Penulis belum memiliki informasi lengkap siapa pertama kali menemukan fungsi² dasar tersebut.  Namun yang jelas trigonometri sudah ada semenjak peradaban Babilonia dan Mesir kuno dan baru didokumentasikan pada masa Hippharchus (150SM) dalam bentuk tabel trigonometri.  Pada artikel kali ini penulis memaparkan sejumlah persamaan trigonometri yang seringkali digunakan.

Sin memiliki hubungan sisi depan dengan miring suatu segitiga

Dituliskan dalam simbol Sin \alpha = \frac{y}{r} , atau perbandingan sisi depan sudut terhadap sisi miringnya.

Cos memiliki hubungan sisi depan dengan miring suatu segitiga

Dituliskan dalam simbol Sin \alpha = \frac{x}{r} , atau perbandingan sisi samping sudut terhadap sisi miringnya.

Tg memiliki hubungan sisi depan dengan miring suatu segitiga

Dituliskan dalam simbol Sin \alpha = \frac{y}{x} , atau perbandingan sisi depan sudut terhadap sisi samping.

Jelasnya, lihat Gambar 1

Gambar 1

Dari fungsi² trigonometri di atas dapat dibuatkan persamaan umum trigonometri lainnya. Namun pangkal dari persamaan yang ada merujuk pada rumus jumlah dan selisih dua sudut. Dari rumus tersebut dengan mudahnya dapat kita turunkan persamaan² trigonometri lainnya.

 

 

 

 

 

 


Rumus jumlah dan selisih dua sudut

Sin\left ( \alpha +\beta  \right )=sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha ____(1)

Sin\left ( \alpha -\beta  \right )=sin\alpha cos\beta -sin\beta cos\alpha ____(2)

Cos\left ( \alpha +\beta  \right )=cos\alpha cos\beta -sin\alpha sin\beta ____(3)

Cos\left ( \alpha -\beta  \right )=cos\alpha cos\beta +sin\alpha sin\beta ____(4)

dari rumus jumlah dan selisih dua sudut kita turunkan persamaan perkalian sinus dan cosinus.  Kita mulai dengan menjumlahkan persamaan 1 dan 2

sin\left ( \alpha +\beta  \right )+sin\left ( \alpha -\beta  \right )=sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha +sin\alpha cos\beta -sin\beta cos\alpha

Diperoleh

sin\left ( \alpha +\beta  \right )+sin\left ( \alpha -\beta  \right )=2sin\alpha cos\beta ____(5)

Hasil yang berbeda diperoleh bila persamaan 1 dan 2 kita selisihkan

sin\left ( \alpha +\beta  \right )-sin\left ( \alpha -\beta  \right )=sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha -sin\alpha cos\beta +sin\beta cos\alpha

Diperoleh

sin\left ( \alpha +\beta  \right )+sin\left ( \alpha -\beta  \right )=2sin\beta cos\alpha ____(6)

Dengan cara sama, kombinasi persamaan 3 dan 4 bila dijumlah dan selisihkan berturut-turut menghasilkan

cos\left ( \alpha +\beta  \right )+cos\left ( \alpha -\beta  \right )=2cos\alpha cos\beta ____(7)

dan

cos\left ( \alpha -\beta  \right )+cos\left ( \alpha -\beta  \right )=-2sin\alpha sin\beta ____(8)

Rumus sudut rangkap

Kita tingkatkan pembahasan kali ini untuk sudut yang bernilai sama alias kembar. Perhatikan kembali persamaan 1 bila sudut \beta =\alpha , maka persamaan tersebut berubah menjadi

sin\left ( \alpha +\beta\right )=sin\alpha cos\beta+sin\beta cos\alpha

sin\left ( \alpha +\alpha  \right )=sin\alpha cos\alpha +sin\alpha cos\alpha

sin2\alpha =2sin\alpha cos\beta ____(9)

Persamaan 9 disebut persamaan sudut rangkap sinus

Selanjutnya tinjau persamaan 3 bila kita ganti sudut \beta =\alpha , maka persamaannya berubah menjadi

cos\left ( \alpha +\beta\right )=cos\alpha cos\beta-sin\beta sin\alpha

cos\left ( \alpha +\alpha\right )=cos\alpha cos\alpha-sin\beta alpha\alpha

cos2\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha ____(10)

Persamaan 10 disebut sebagai persamaan sudut rangkap cosinus sekaligus menjadi bentuk utamanya. Kenapa dikatakan bentuk utama?, karena bersamaan dengan indentitas trigonometri berikut:

sin^{2}\alpha+ cos^{2}\alpha=1

cos^{2}\alpha=1-  sin^{2}\alpha ____(11)

Persamaan 10 berubah menjadi:

cos2\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha

cos2\alpha =\left ( 1-sin^{2}\alpha  \right )-sin^{2}\alpha

cos2\alpha = 1-2sin^{2}\alpha ____(12)

Dan dengan mengubah

sin^{2}\alpha+ cos^{2}\alpha=1

menjadi

sin^{2}\alpha=1-  cos^{2}\alpha ____(13)

Persamaan 10 berubah pula menjadi

cos2\alpha =cos^{2}\alpha -sin^{2}\alpha

cos2\alpha = cos^{2\alpha }-\left ( 1-cos^{2}\alpha  \right )

cos2\alpha = 2cos^{2}-1\alpha ____(14)

Persamaan 11 dan 14 merupakan bentuk lain dari persamaan 10. Kedua persamaan yang disebutkan tadi bermanfaat dalam berbagai aspek, salah satunya adalah menghitung nilai integral yang melibatkan bentuk trigonometri polinimial (berpangkat lebih dari satu)

Lalu bagaimana halnya dengan bentuk tangent (tg) apakah memiliki bentuk sudut rangkap?. Tentu saja punya…

Kita mulai dari persamaan tg\left ( \alpha +\beta  \right )=\frac{tg\alpha +tg\beta }{1-tg\alpha tg\beta } ____(15)

Bila sudut \beta =\alpha , persamaan 15 berubah menjadi

tg\left ( \alpha +\alpha\right )=\frac{tg\alpha +tg\alpha}{1-tg\alpha tg\alpha}

tg2\alpha =\frac{2tg\alpha }{1-tg^{2}\alpha } ____(16)

Sekilas persamaan 16 terlihat asing, namun bagi yang sering berkutat pada bentuk persamaan kuadrat bentuk tersebut tidaklah terlalu asing bukan?…


Rumus jumlah dan selisih sinus dan cosinus

Lanjut sekarang untuk membuktikan rumus jumlah dan selisih sinus, cosinus.  Masih menggunakan persamaan awal, tinjau persamaan 5.

Kita misalkan \alpha+\beta = p dan \alpha-\beta = q , diselesaikan melalui eliminasi diperoleh,

a = \frac{p+q}{2} dan b = \frac{p-q}{2} ____(17)

Substitusikan persamaan 17 ini ke persamaan 5, diperoleh hasil akhirnya berupa:

sinp+sinq = 2sin\frac{p+q}{2}cos\frac{p-q}{2} ____(18)

dengan cara yang sama, substitusikan persamaan 17 ke persamaan 6, 7, dan 8.  Berturut-turut dihasilkan:

sinp-sinq = 2sin\frac{p-q}{2}cos\frac{p+q}{2} ____(19)

cosp+cosq = 2cos\frac{p+q}{2}cos\frac{p-q}{2} ____(20)

cosp-cosq = -2sin\frac{p+q}{2}sin\frac{p-q}{2} ____(21)

<Selesai>

  1. April 4, 2014 pukul 3:55 pm

    Trimakasih banyak atas pnjelasannya ,saya senang tlah mendapatkan penjelasan yg baik

  1. No trackbacks yet.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.